1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya
Misalnya, diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah x1 dan x2. Untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa substitusi akar-akar tersebut ke persamaan berikut:
Kenapa sih harus disubstitusi ke persamaan itu? Kamu masih ingat nggak, kalau ingin mendapatkan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, salah satu caranya adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadrat tersebut. Nah, bentuk persamaan (x – x1)(x – x2) = 0 adalah hasil dari pemfaktoran persamaan kuadrat. Kalau kita lakukan sedikit operasi aljabar, kita kali silang persamaan itu, maka akan didapat suatu persamaan kuadrat.
Oke, supaya lebih paham, perhatikan contoh soal di bawah ini, yuk!
Contoh soal 1
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah 3 dan -7.
Penyelesaian:
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah 3 dan -7. Berarti, kamu bisa tulis x1 = 3 dan x2 = -7. Kemudian, kedua akar tersebut bisa kamu substitusikan ke persamaan (x – x1)(x – x2) = 0, sehingga penyelesaiannya menjadi sebagai berikut:
(x – 3)(x – (-7)) = 0
(x – 3)(x + 7) = 0
x2 + 7x – 3x – 21 = 0
x2 + 4x – 21 = 0
Jadiii, persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -7 adalah x2 + 4x – 21 = 0.
Gimana gengs, mudah bukan caranya? Cukup dengan mensubstitusi nilai akar-akarnya dan sedikit melakukan operasi aljabar, kamu sudah bisa mendapatkan persamaan kuadratnya. Yuk, kita lanjut ke metode kedua, ya!
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya
Misalkan, akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah x1 dan x2. Jika yang diketahui pada soal adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya, maka untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa gunakan rumus berikut ini:
Nah, sebenarnya, bentuk persamaan x2 – (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0 merupakan hasil kali silang dari persamaan (x – x1)(x – x2) = 0, yang kita gunakan untuk mencari persamaan kuadrat di metode sebelumnya. Penjabarannya, bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini, nih.
Terus, kenapa sih bisa dapat x1 + x2= -b/a dan x1 . x2 = c/a? Berawal dari persamaan x2 – (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0, kemudian masing-masing ruas dikalikan dengan konstanta a, sehingga persamaan tersebut menjadi sebagai berikut:
ax2 – a(x1 + x2)x + a(x1 . x2) = 0
Setelah itu, disamain deh dengan bentuk umum persamaan kuadrat, sehingga diperoleh:
Dari penjabaran itu lah rumus hasil jumlah dan kali akar-akar persamaan kuadrat berasal. Gimana, sudah paham ya dengan konsep rumusnya? Oke, sekarang, kita perhatikan contoh soal dibawah ini, ya!
Contoh soal 2
Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah α dan β, serta jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah -1 dan -20.
Penyelesaian:
Diketahui akar-akarnya adalah x1 dan x2. Kemudian, hasil jumlah akar-akarnya adalah -1, berarti x1 + x2 = -1. Lalu, hasil kali akar-akarnya adalah -20, berarti x1 . x2 = – 20. Nah, kamu bisa langsung substitusi hasil jumlah dan kali akar-akar yang sudah diketahui ke persamaan:
x2 – (x1 + x2)x + (x1 . x2) = 0
Sehingga persamaannya menjadi seperti berikut:
x2 – (-1)x + (-20) = 0
x2 + x – 20 = 0
Jadi, diperoleh persamaan kuadratnya adalah x2 + x -20 = 0.
Contoh soal 3
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 kali akar-akar persamaan persamaan kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0.
Penyelesaian:
Karena akar persamaan kuadrat yang baru adalah transformasi akar persamaan kuadrat yang lama, kita bisa gunakan metode substitusi.
Apa sih maksudnya transformasi? Maksudnya, dua-duanya berubahnya sama gitu. Di sini, kedua akarnya sama-sama 3 kali akar-akar yang lama.
Biar nggak bingung, kita pakai variabel p untuk persamaan kuadrat yang baru.
Nah, jadinya p = 3x atau kalau kita mau x dalam p, jadinya x = 1/3 p.
Langsung aja kita substitusiin ya,
2x2 + 5x – 3 = 0
2(1/3p)2 + 5(1/3p) – 3 = 0
2/9p2 + 5/3p – 3 = 0
kedua ruas kita kalikan dengan 9
2p2 + 15p – 27 = 0
Sehingga, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kali persamaan kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0 adalah 2p2 + 15p – 27 = 0.
Kalau mau ditulis lagi dalam x juga nggak papa. Jadinya, 2x2 + 15x – 27 = 0.
Contoh soal 4
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat x2 + qx + r = 0 adalah x1 dan x2, dimana x1 < x2. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar x1 + 2 dan x2 – 2.
Penyelesaian:
Nah, kalau soalnya kayak gini, nggak bisa pake metode substitusi tadi. Soalnya, x1 dan x2 berubahnya beda. Ada yang ditambah 2, ada yang dikurangi 2.
Terus, gimana, dong? Tenang.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x -10 = 0 adalah x1 dan x2. Kita langsung faktorin aja persamaan kuadratnya, ya. Jadinya,
x2 + 3x -10 = 0
(x-2)(x+5) = 0
Sehingga, diperoleh akar-akarnya, yaitu x = -5 atau x = 2.
Nah, di soal diketahui kalau x1 < x2. Akar yang lebih kecil yang mana? -5 kan ya. Jadi, x1 = -5 dan x2 = 2.
Untuk mencari persamaan kuadrat yang barunya, kita bisa gunakan rumus (x – x1)(x – x2) = 0. Karena diketahui di soal kalau akar-akarnya x1 + 2 dan x2 – 2, berarti:
[x – (x1 + 2)][x – (x2 – 2)]=0
Kita substitusi nilai x1 dan x2 yang kita dapatkan barusan, sehingga:
[x – (-5 + 2)][x – (2 – 2)]=0
(x-(-3))(x-0) = 0
(x+3)(x) = 0
kita kali silang
x2 + 3x = 0
Jadi, persamaan kuadrat dengan akar x1 + 2 dan x2 – 2 adalah x2 + 3x = 0.
Oke, contoh soalnya sudah ada empat, nih. Bisa dong sekarang kalau diminta menyusun persamaan kuadrat. Huehehe…
Gengs, sadar nggak sih, salah satu kunci agar pandai dalam matematika itu adalah banyak mengerjakan latihan soal. Dengan begitu, logika berpikir kamu akan semakin terasah, rumus-rumus yang sering digunakan pun akan melekat di otak kamu dengan sendirinya. Selain itu, kamu juga bisa bertemu dengan berbagai macam variasi soal. Jadi, pemahaman materi kamu akan semakin dalam. Nah, kamu bisa lho cobain latihan berbagai macam soal di ruangbelajar. Di sana latihan soalnya lengkap dan ada pembahasannya juga. So, tunggu apa lagi? Buruan gabung sekarang juga!
